Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что… (алгебра)

№ Квадратные уравнения, теорема Виета

Ненулевые числа $a, b, c, d, p, q, r, t$ таковы, что каждое из квадратных уравнений $a x^{2} - p x + c = 0$ , $b x^{2} - q x + d = 0$ , $c x^{2} - r x + a = 0$ , $d x^{2} - t x + b = 0$ имеет по два положительных корня, образующих множество $K$ из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества $K$ равно 5, а сумма двух наименьших чисел множества $K$ равна $\frac{21}{20}$ . Найдите наименьший из этих восьми корней.

Решение

По теореме Виета произведения корней уравнений равны , , , .

Произведение всех восьми корней:

Произведение шести наибольших равно , значит произведение двух наименьших равно . Их сумма равна .

По теореме Виета эти два числа — корни уравнения

Меньший из них равен .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Тетраэдр, средние линии, площади

Дана треугольная пирамида $A B C D$ . Середину ребра $A B$ соединили с серединами всех других рёбер, кроме $C D$ , и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 4. Найдите квадрат длины ребра $C D$ , если известно, что произведение площадей треугольников $C A D$ и $C B D$ равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без $A B$ и $C D$ равна 40.

Решение

Пусть — середина . Отрезки от к серединам , , , — средние линии треугольников и , их длины равны , , , .

Произведение длин равно :

Площади треугольников:

Перемножим:

По условию произведение равно , значит равенство достигается. Это возможно, только если и , то есть .

Тогда по теореме Пифагора

Сумма , поэтому

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Качение многоугольника, траектория центра

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $8 a$ и $15 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Гипотенуза равна . Периметр: .

Центр шестиугольника удалён от вершин на . При качении шестиугольник поворачивается вокруг вершины на за один шаг, центр при этом проходит дугу радиуса длиной .

Шаги по сторонам: по стороне длиной укладывается шагов. Всего по периметру шагов, они дают .

На каждом углу треугольника шестиугольник поворачивается вокруг вершины треугольника: к повороту на добавляется дополнительный поворот на внешний угол треугольника. Суммарно за обход поворот равен , поэтому общий угол поворота вокруг вершин-опор:

что соответствует дугам по радиуса .

Длина траектории:

💡 Почему так

Центр шестиугольника всегда на расстоянии от опорной вершины и описывает дуги окружностей радиуса ; общий угол поворота складывается из поворотов при качении по сторонам и поворотов на углах треугольника.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?