Найти углы параллелограмма ABCD (рис. 4). На… (геометрия)

№ Углы параллелограмма по рисунку

⚠️

Пункты ) и ) вверху страницы обрезаны: номер и начало условия не видны, поэтому они не решены. Подпись ученика не указывает номер, поэтому решены все задания –. Для пунктов ) и ) пришлите фото начала задания, чтобы был виден номер и условие.

Найти углы параллелограмма $A B C D$ (рис. 4). На рисунке $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ A D B = 3 0^{\circ}$ .

Решение

В треугольнике :

Так как , накрест лежащие углы равны: .

Противоположные углы параллелограмма равны: , .

💡 Почему так

Противоположные углы параллелограмма равны, а при накрест лежащие углы при диагонали равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Углы параллелограмма и треугольника

Даны параллелограмм $A B C D$ и треугольник $P E F$ . Могут ли одновременно выполняться равенства: $∠ A = ∠ P$ , $∠ B = ∠ E$ , $∠ C = ∠ F$ ? Ответ обосновать.

Решение

Допустим, что могут. В параллелограмме , значит , и , значит .
Но в треугольнике :

Тогда , а это невозможно.

💡 Почему так

Два угла параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают , поэтому для третьего угла треугольника ничего не остаётся.

Ответ

✓ dzmen.ru

Нет, не могут.

№ Стороны по периметру

Периметр параллелограмма равен 56 см. Найти стороны параллелограмма, если одна из них на 6 см больше другой.

Решение

Сумма двух смежных сторон равна см. Пусть меньшая сторона см, тогда:

Другая сторона: см.

Ответ

✓ dzmen.ru

см и см (стороны , , , см)

№ Стороны по периметру и отношению

Периметр параллелограмма равен 126 см. Найти его стороны, если две из них относятся как 4:5.

Решение

Сумма смежных сторон: см. Пусть стороны и :

Стороны: см и см.

Ответ

✓ dzmen.ru

см и см (стороны , , , см)

№

Ошибки в изображении параллелограмма

Какие ошибки допущены в изображении параллелограмма на рис. 5?

Решение

Первый рисунок: , , а противоположные стороны параллелограмма должны быть равны. Кроме того, накрест лежащие углы при и секущей равны, а здесь .

Второй рисунок: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, а на рисунке отрезки одной из диагоналей равны и , то есть не равны.

Третий рисунок: углы и при стороне в сумме должны давать , а здесь .

Ответ

✓ dzmen.ru

противоположные стороны и не равны, углы ° и ° не равны;
диагональ делится на отрезки и , не пополам;
сумма углов при стороне .

№

Признак параллелограмма

В четырёхугольнике $A B C D$ (рис. 6) $∠1 = ∠2$ , $∠3 = ∠4$ . Доказать, что $A B C D$ — параллелограмм.

Решение

и — накрест лежащие при прямых , и секущей . Они равны, поэтому .
и — накрест лежащие при прямых , и секущей . Они равны, поэтому .
Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит — параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

и , значит — параллелограмм.

№

Признак параллелограмма

В четырёхугольнике $A B C D$ (рис. 7) $A D = B C$ , $∠1 = ∠2$ . Доказать, что $A B C D$ — параллелограмм.

Решение

и — накрест лежащие при прямых , и секущей . Они равны, поэтому .
Кроме того, . Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то это параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

и , значит — параллелограмм.

№

Признак параллелограмма

На сторонах $B C$ и $A D$ параллелограмма $A B C D$ отметили точки $K$ и $E$ такие, что $∠ A K C = ∠ A E C$ (рис. 8). Доказать, что $A K C E$ — параллелограмм.

Решение

, значит .
Так как — четырёхугольник с и (односторонние при и секущей ), то .
Отсюда . Это односторонние углы при прямых , и секущей , поэтому .
Противоположные стороны попарно параллельны, значит — параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

и , значит — параллелограмм.

№

Признак параллелограмма

На диагонали $B D$ параллелограмма $A B C D$ отложены равные отрезки $B F$ и $D E$ (рис. 9). Доказать, что $A F C E$ — параллелограмм.

Решение

Пусть — точка пересечения диагоналей. Тогда и .

Диагонали и четырёхугольника пересекаются в точке и делятся ею пополам, значит — параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

Диагонали и точкой делятся пополам, значит — параллелограмм.

№

Биссектрисы углов параллелограмма

Доказать, что биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к одной стороне, пересекаются под прямым углом.

Решение

Пусть биссектрисы углов и пересекаются в точке . Углы и — односторонние при и секущей , поэтому .
В треугольнике :

Ответ

✓ dzmen.ru

Угол между биссектрисами равен , что и требовалось доказать.

№

Прямая через центр параллелограмма

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Доказать, что $O E = O F$ .

Решение

Рассмотрим треугольники и :

(диагонали параллелограмма делятся пополам);
(вертикальные);
(накрест лежащие при и секущей ).

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, значит .

Ответ

✓ dzmen.ru

, поэтому .

№

Биссектрисы углов и диагональ

В параллелограмме $A B C D$ биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекают диагональ $A C$ в точках $K$ и $P$ соответственно (рис. 10). Доказать, что четырёхугольник $B P D K$ — параллелограмм.

Решение

Рассмотрим треугольники и :

(противоположные стороны параллелограмма);
(накрест лежащие при и секущей );
.

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, значит и .
Смежные с ними углы тоже равны: . Это накрест лежащие углы при прямых , и секущей , поэтому .
Две противоположные стороны и четырёхугольника равны и параллельны, значит — параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

и , значит — параллелограмм.

№

Биссектриса угла параллелограмма

В параллелограмме $A B C D$ $A B = 7$ см, $A D = 12$ см. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $B C$ в точке $E$ . Найти длины отрезков $B E$ и $E C$ .

Решение

(биссектриса), (накрест лежащие при ). Значит , треугольник равнобедренный и см.

Ответ

✓ dzmen.ru

см, см

№

Биссектриса тупого угла, периметр

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины тупого угла. Периметр параллелограмма равен 84 см. Найти его стороны.

Решение

Пусть биссектриса тупого угла пересекает сторону в точке , причём . Тогда , , .
Как в задаче , равнобедренный: .

Стороны: см, см.

Ответ

✓ dzmen.ru

, см и , см (стороны ,; ,; ,; , см)

№

Высота делит сторону пополам

В параллелограмме $A B C D$ угол $A$ равен $6 0^{\circ}$ . Высота $B E$ делит сторону $A D$ на две равные части. Найти длину диагонали $B D$ , если периметр параллелограмма равен 48 см.

Решение

и , значит — высота и медиана треугольника , поэтому он равнобедренный: .
, значит треугольник равносторонний: .

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№

Параллелограммы на рисунке

На рис. 11 точка $O$ — общая середина отрезков $A D$ , $B E$ и $C F$ . Какие из четырёхугольников на этом рисунке являются параллелограммами?

Решение

Точка — середина каждого из отрезков , , . Если у четырёхугольника диагонали пересекаются в точке и делятся ею пополам, то он параллелограмм.

Диагонали и : четырёхугольник .
Диагонали и : четырёхугольник .
Диагонали и : четырёхугольник .

💡 Почему так

Признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

Параллелограммами являются , и .

Помогло?

Найти углы параллелограмма ABCD (рис. 4). На рисунке ∠ ABD = 40°,…