Найдите x. (На рисунке: окружность с центром O… (геометрия)

№ Вписанный угол и дуга

Найдите $x$ . (На рисунке: окружность с центром $O$ , диаметр $N K$ , дуга $M N = 12 4^{\circ}$ , дуга $N K = 18 0^{\circ}$ , $x = ∠ M N K$ .)

Решение

— диаметр, поэтому вся дуга равна .

Дуга , на которую опирается угол (не содержит точку ):

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

💡 Почему так

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Угол между касательными

$∠ A M B$ — ? (На рисунке: $M A$ и $M B$ — касательные к окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$ , $O A = A B$ .)

Решение

как радиусы и по условию, значит, треугольник равносторонний и .

Радиусы и перпендикулярны касательным: .

В четырёхугольнике сумма углов равна :

💡 Почему так

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Пересекающиеся хорды

Найдите $x$ . (На рисунке: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ , $A M = 9$ , $M B = 3$ , $C M = 2$ , $M D = x$ .)

Решение

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: .

💡 Почему так

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Биссектрисы и высота треугольника

$∠ M E F = 6 0^{\circ}$ , $E O = 8$ , $O K$ — ? (На рисунке: $O$ — точка пересечения биссектрис углов $M$ и $F$ треугольника $M E F$ , $E K ⊥ M F$ .)

Решение

— точка пересечения биссектрис, значит, — тоже биссектриса угла . Так как ещё и высота, треугольник равнобедренный: .

Угол при вершине , поэтому треугольник равносторонний, а — одновременно центр вписанной и описанной окружностей.

— радиус описанной окружности, — радиус вписанной.

В равностороннем треугольнике :

Проверка: в треугольнике угол , , значит, .

💡 Почему так

В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают и делятся точкой пересечения в отношении от вершины.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Найдите x. (На рисунке: окружность с центром O, диаметр NK, дуга MN…