Точки M и N являются серединами сторон AB и BC… (геометрия)

№

Средняя линия треугольника

⚠️

Задания и вверху страницы закрыты краем листа и обрезаны, поэтому не решены. Чтобы решить их, переснимите верх страницы ближе и крупнее.

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ , сторона $A B$ равна 20, сторона $B C$ равна 58, сторона $A C$ равна 64. Найдите $M N$ .

Решение

и — середины сторон и , значит, — средняя линия треугольника, параллельная и равная её половине.

💡 Почему так

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Ответ

№

Касательные к окружности

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $2^{\circ}$ . Найдите угол $A B O$ . Ответ дайте в градусах.

Решение

Пусть касательные пересекаются в точке . Отрезки касательных равны: , значит, треугольник равнобедренный, .

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: .

💡 Почему так

Отрезки касательных из одной точки равны, а радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Ответ

№

Площадь трапеции

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $4 5^{\circ}$ . Найдите площадь трапеции.

Решение

Опустим высоту . Тогда

Треугольник

прямоугольный с углом

, значит, он равнобедренный:

💡 Почему так

В равнобедренной трапеции отрезок основания от вершины до высоты равен полуразности оснований.

Ответ

№

Клетчатая бумага

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

По рисунку горизонтальный катет занимает клеток, вертикальный — клетки.

Больший катет — горизонтальный, его длина равна .

Ответ

№

Верные утверждения

Какие из следующих утверждений верны?

Все высоты равностороннего треугольника равны.
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Верно. В равностороннем треугольнике высоты являются и медианами, а медианы равны.
Верно. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, в том числе три.
Неверно. У прямоугольника диагонали равны, но он не обязан быть ромбом.

Ответ

, (в бланк: )

№

Теорема синусов

Углы $B$ и $C$ треугольника $A B C$ равны соответственно $6 3^{\circ}$ и $8 7^{\circ}$ . Найдите $B C$ , если радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , равен 11.

Решение

По теореме синусов :

💡 Почему так

По теореме синусов сторона треугольника равна удвоенному радиусу описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.

Ответ

Помогло?

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC,…