Найдите угол между прямыми AM и BM, если известно, что прямая AB лежит в плоскости α, а точка M не лежит в плоскости α. (Рисунки 1)–18) на фото; в 16) ∠A : ∠B : ∠M = 2 : 7 : 1, в 17) ∠A : ∠B : ∠M = 3 : 1 : 5.)
Прямые AM и BM пересекаются в точке M, поэтому угол между ними — это ∠AMB, если он не больше
-
. -
. -
MA = MB, значит ∠B = ∠A =
°, и . -
, поэтому угол между прямыми равен . -
, угол между прямыми . -
MA = MB, ∠A = ∠B =
°, , угол между прямыми . -
MA = MB, ∠A = ∠B =
°, . -
∠B =
°, ∠A = °, . -
, поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, ∠M = °. -
∠A =
°, AB = , MB = . , ∠M = °. -
∠A =
°, MA = , MB = . , ∠M = °. -
∠B =
°, MB = , MA = . , ∠M = °. -
Данные углы
° и ° — внешние углы при A и B (их сумма больше °). Внутренние углы: ∠A = °, ∠B = °. , угол между прямыми . -
Угол
° при B — внешний, поэтому ∠B = °. . -
Угол
° при A — внешний, поэтому ∠A = °, ∠B = °. , угол между прямыми . -
Сумма частей
+ + = , одна часть равна , ∠M = °. -
Сумма частей
+ + = , одна часть равна , ∠M = °, угол между прямыми . -
MH ⟂ AB и AH = HB, значит MH — высота и медиана, треугольник AMB равнобедренный: ∠A = ∠B =
°. , угол между прямыми .
Угол между пересекающимися прямыми не больше
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Найдите угол между указанными скрещивающимися прямыми.
- ABCD — параллелограмм, K ∉ (ABC). Найти: ∠(AK; CD).
- ABCD — параллелограмм, F ∉ (ABC). Найти: ∠(FA; DC).
- ABCD — прямоугольник, P ∉ (ABC). Найти: ∠(BP; CD).
- ABCD — ромб, Q ∉ (ABC). Найти: ∠(DQ; BC).
- EF — средняя линия треугольника ABC, M ∉ (ABC). Найти: ∠(CM; EF).
- ABCD — трапеция, AD, BC — основания, T ∉ (ABC). Найти: ∠(CT; AD).
- ABCD — квадрат, N ∉ (ABC). Найти: ∠(NB; CD).
- MN — средняя линия трапеции ABCD, AD, BC — основания, L ∉ (ABC). Найти: ∠(AL; MN).
- ABC — треугольник, KL ⊂ (ABC), S ∉ (ABC). Найти: ∠(SA; KL).
- ABC — треугольник, D ∉ (ABC). Найти: ∠(CD; MN).
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, проводим через точку на одной из них прямую, параллельную другой.
-
AB
CD, поэтому ∠(AK; CD) = ∠(AK; AB) = ∠KAB = °. -
DC
AB, поэтому ∠(FA; DC) = ∠(FA; AB) = ∠FAB = °. -
CD
AB, поэтому искомый угол равен углу между BP и AB. Угол ° тупой, поэтому . -
BC
AD, угол между DQ и AD равен ° или смежному с ним. Угол ° тупой, поэтому . -
EF
AC (средняя линия), поэтому ∠(CM; EF) = ∠(CM; CA) = °. -
BC
AD, поэтому ∠(CT; AD) = ∠(CT; CB) = °. -
CD
AB, поэтому ∠(NB; CD) = ∠(NB; AB) = ∠NBA. В треугольнике ANB: . -
MN
AD, поэтому ∠(AL; MN) = ∠(AL; AD) = ∠LAD. В треугольнике LAD стороны LA = LD (отмечены равными), значит ∠LAD = ∠LDA = °. -
AB ⟂ BC и KL ⟂ BC, поэтому KL
AB. Тогда ∠(SA; KL) = ∠(SA; AB) = °. -
MN — средняя линия, MN
AC. Угол ° тупой, поэтому ∠(CD; MN) = ∠(CD; CA) = .
Угол между скрещивающимися прямыми не меняется при замене прямой на параллельную ей. Если полученный угол тупой, берём смежный с ним.
° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Вставьте пропущенное слово/пропущенные слова.
- Две прямые называются скрещивающимися, если они ____ в одной плоскости.
- Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая ____ эту плоскость в точке, ____ на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
- Если прямые пересекаются, то они ____ в одной плоскости.
- Если прямые параллельны, то они ____ в одной плоскости.
- Градусная мера угла между пересекающимися прямыми больше ____° и меньше или равна ____°.
Определите, верно ли утверждение.
6) Если прямая a лежит в плоскости α, а прямая b не лежит в плоскости α, то эти прямые скрещивающиеся.
7) Скрещивающиеся прямые имеют ровно одну общую точку.
8) Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку.
9) Если прямые параллельные или скрещивающиеся, то они не имеют общих точек.
10) Существует плоскость, в которой лежат две скрещивающиеся прямые.
11) Если две прямые лежат в одной плоскости, то эти прямые не пересекаются.
Выполните задание.
12) В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите прямые: параллельные прямой AD; пересекающиеся с прямой AD; скрещивающиеся с прямой AD.
-
Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
-
Вторая прямая пересекает плоскость в точке, не лежащей на первой прямой.
-
Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости.
-
Параллельные прямые лежат в одной плоскости.
-
Угол между пересекающимися прямыми больше
° и не больше °. -
Нет: прямая b может быть параллельна a или пересекать её.
-
Нет: скрещивающиеся прямые общих точек не имеют.
-
Да, по определению.
-
Да: у параллельных и у скрещивающихся прямых общих точек нет.
-
Нет: скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
-
Нет: две пересекающиеся прямые тоже лежат в одной плоскости.
- Грани нижнего основания ABCD, верхнего основания A₁B₁C₁D₁ и боковые грани:
- параллельны AD: BC, A₁D₁, B₁C₁ (они лежат в одной плоскости с AD или в параллельной грани и параллельны ей);
- пересекают AD: AB, CD, AA₁, DD₁ (общая точка A или D);
- скрещиваются с AD: BB₁, CC₁, A₁B₁, C₁D₁ (не лежат с AD в одной плоскости).
- не лежат
- пересекает; не лежащей
- лежат
- лежат
; - нет
- нет
- да
- да
- нет
- нет
- параллельные AD: BC, A₁D₁, B₁C₁; пересекающиеся с AD: AB, CD, AA₁, DD₁; скрещивающиеся с AD: BB₁, CC₁, A₁B₁, C₁D₁
