Найдите наименьшее и наибольшее значения функции… (алгебра)

№

Наименьшее и наибольшее значения y = sin x на промежутках

⚠️

Задание не решено: виден только вид функции, а вопрос к ней обрезан. Чтобы я его решил, переснимите фото так, чтобы внизу была видна вся формулировка.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = sin x$ :
а) на отрезке $[\frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ ;
б) на луче $[\frac{π}{4}, + \infty)$ ;
в) на интервале $(- \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{4})$ ;
г) на полуинтервале $(- π, \frac{π}{3}]$ .

Решение

а) На синус возрастает, на убывает. Значения на концах:

Так как

, наименьшее значение равно

, наибольшее равно .

б) Луч бесконечный, а синус периодичен. Точка лежит на луче, значит, значение достигается. Точка тоже на луче, значит, достигается значение .

в) Точка принадлежит интервалу, там . Точка тоже принадлежит интервалу, там . Концы интервала не нужны, так как значения и уже достигнуты.

г) Точка принадлежит полуинтервалу, там , это наименьшее значение. На синус возрастает, а на его значения лежат в . Поэтому наибольшее значение достигается на правом конце:

Ответ

а) наименьшее , наибольшее ;
б) наименьшее , наибольшее ;
в) наименьшее , наибольшее ;
г) наименьшее , наибольшее .

№

Построение графиков y = sin(x ± a)

Постройте график функции:
а) $y = sin (x - \frac{π}{3})$ ;
б) $y = sin (x + \frac{π}{4})$ ;
в) $y = sin (x - π)$ ;
г) $y = sin (x + \frac{π}{3})$ .

Решение

График получается из синусоиды сдвигом вдоль оси на вправо (при ) или на влево (при ).

а) Сдвиг вправо на . Нули: . Максимум при .

б) Сдвиг влево на . Нули: . Максимум при .

в) Сдвиг вправо на . Так как , это график .

г) Сдвиг влево на . Нули: . Максимум при .

Ответ

а) синусоида, сдвинутая вправо на ;
б) синусоида, сдвинутая влево на ;
в) синусоида, сдвинутая вправо на , то есть график ;
г) синусоида, сдвинутая влево на .

№

Построение графиков y = sin x + b

Постройте график функции:
а) $y = sin x - 2$ ;
б) $y = sin x + 1$ ;
в) $y = sin x + 2$ ;
г) $y = sin x - 3$ .

Решение

График получается из синусоиды сдвигом вдоль оси на единиц (вверх при , вниз при ). Область значений: .

а) Сдвиг вниз на . Значения от до .

б) Сдвиг вверх на . Значения от до .

в) Сдвиг вверх на . Значения от до .

г) Сдвиг вниз на . Значения от до .

Ответ

а) синусоида, сдвинутая вниз на ;
б) синусоида, сдвинутая вверх на ;
в) синусоида, сдвинутая вверх на ;
г) синусоида, сдвинутая вниз на .

№

Построение графиков y = sin(x ± a) ± b

Постройте график функции:
а) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 1$ ;
б) $y = sin (x + \frac{π}{3}) - 1$ .

Решение

Сначала строим , затем сдвигаем график вдоль оси .

а) Сдвиг вправо на и вверх на . Значения от до .

б) Сдвиг влево на и вниз на . Значения от до .

Ответ

а) синусоида, сдвинутая вправо на и вверх на ;
б) синусоида, сдвинутая влево на и вниз на .

№

Построение графиков с отражением

Постройте график функции:
а) $y = - sin (x + \frac{π}{6})$ ;
б) $y = - sin x + 3$ .

Решение

а) Строим , то есть сдвигаем синусоиду влево на . Затем отражаем её симметрично относительно оси .

б) Строим , то есть отражаем синусоиду относительно оси . Затем сдвигаем график вверх на . Значения от до .

Ответ

а) синусоида, сдвинутая влево на и отражённая относительно оси ;
б) синусоида, отражённая относительно оси и сдвинутая вверх на .

№

Кусочно-заданные функции

Постройте и прочитайте график функции $y = f (x)$ , где:
а) $f (x) = {x^{2}, sin x, если x < 0, если x ⩾ 0;$
б) $f (x) = {sin x, x^{2}, если x < 0, если x ⩾ 0.$

Решение

а) При строим ветвь параболы , при строим синусоиду . В точке обе части дают , поэтому график непрерывен.

Чтение графика:

Область определения: .
Область значений: .
Функция убывает на , затем колеблется как синус.
Нули: и , .
Наименьшее значение равно , наибольшего нет.

б) При строим синусоиду , при строим ветвь параболы . В точке обе части дают , график непрерывен.

Чтение графика:

Область определения: .
Область значений: .
При функция возрастает.
Нули: , .
Наименьшее значение равно , наибольшего нет.

Ответ

а) ветвь параболы слева от нуля и синусоида справа; , ;
б) синусоида слева от нуля и ветвь параболы справа; , .

Помогло?

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=sin x: а) на отрезке [π/4,…