Начертите неколлинеарные векторы a, b, c. Постройте векторы, равные: а)…

Чертёж к а): возьмём $\stackrel{⃗}{}$, $\stackrel{⃗}{}$, $\stackrel{⃗}{}$ из точки и покажем $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$.

Построение а):

1. От точки откладываем вектор $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$ (треть вектора $\stackrel{⃗}{}$, сонаправленная с ним).
2. От точки откладываем вектор $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$ (половина вектора $\stackrel{⃗}{}$).
3. Вектор $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$ — искомый.

Чертёж к б):

Построение б):

1. От точки откладываем $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$ (длина равна $\stackrel{⃗}{}$, направление противоположное).
2. От точки откладываем $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$.
3. От точки откладываем $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.
4. Вектор $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$ — искомый.

В параллелограмме $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

— середина , поэтому $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$:

Так как , то , значит $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$:

Основания и . Высота для стороны и для стороны . Так как , при одной высоте сторона при угле короче, то есть — меньшая боковая сторона.

Проведём высоты и .

В треугольнике угол , он прямоугольный равнобедренный: .

, поэтому

Средняя линия:

Пусть — середина . Обозначим $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Так как , то $\overrightarrow{{}_{}}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}$.

— середина : $\overrightarrow{{}_{}}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, значит $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Найдём два вектора из точки :

Итак, $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}\overrightarrow{{}_{}}$. Векторы коллинеарны и имеют общую точку , поэтому точка лежит на прямой , что и требовалось доказать.