Лежат ли прямые a, b и c в одной плоскости, если… (геометрия)

№ Лежат ли три попарно пересекающиеся прямые в одной плоскости

Лежат ли прямые $a$ , $b$ и $c$ в одной плоскости, если прямые $a$ и $b$ , $a$ и $c$ , $b$ и $c$ пересекаются и точки их пересечения не совпадают? Ответ объясните.

Решение

Пусть , , , причём точки , , различны.

Точки и лежат на прямой , поэтому прямая целиком лежит в плоскости, которая проходит через них.

Прямые и пересекаются, поэтому через них проходит единственная плоскость . Точка лежит на прямой , значит . Точка лежит на прямой , значит .

Прямая проходит через две различные точки и плоскости (точки и различны по условию). Тогда по аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, .

Итак, все три прямые лежат в плоскости .

💡 Почему так

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней.

Ответ

✓ dzmen.ru

Да, прямые , и лежат в одной плоскости.

№ Сечение плоскостью, параллельной стороне треугольника

Плоскость, пересекая две стороны треугольника $A B C$ , делит их в отношении $A A_{1} : A_{1} C = B B_{1} : B_{1} C = 2 : 3$ . Найдите длину отрезка $A_{1} B_{1}$ , если $A B = 15$ см.

Решение

Точки и лежат на сторонах и треугольника, поэтому отрезок лежит в плоскости треугольника .

Так как , то . Из отношения получаем

Значит, и треугольники и подобны (по двум пропорциональным сторонам и общему углу ) с коэффициентом .

💡 Почему так

Если две стороны треугольника делятся в одинаковом отношении, отрезок между точками деления параллелен третьей стороне, а треугольники подобны.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№ Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями

Отрезки $A B$ и $C D$ параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями. Найдите $A B$ , если $C D = 3$ см.

Решение

Пусть параллельные плоскости и , точки , лежат в , а , — в .

Параллельные прямые и задают плоскость . Она пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым и .

Четырёхугольник имеет и , значит, это параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны:

💡 Почему так

Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

Помогло?

Лежат ли прямые a, b и c в одной плоскости, если прямые…