Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без…

Геометрия9 классРешено по фото 15 октября 2026 в 04:25

№ Траектория центра правильного шестиугольника, катящегося по треугольнику

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $3 a$ и $4 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Гипотенуза: . Периметр треугольника равен .

Центр правильного шестиугольника находится на расстоянии от каждой его вершины. При качении без проскальзывания шестиугольник всё время поворачивается вокруг какой-нибудь вершины. Поэтому центр движется по дугам окружностей радиуса . Длина траектории равна , где — суммарный угол поворота колеса в радианах.

Движение вдоль сторон. Длина каждой стороны кратна . Колесо ложится на неё стороной и перекатывается через вершины. На стороне длиной получается поворотов по . Всего на трёх сторонах таких поворотов:

Поворот у вершины треугольника. Если внешний угол треугольника равен , то при переходе на следующую сторону колесо поворачивается на . Сумма внешних углов треугольника равна , поэтому для трёх вершин:

Суммарный угол поворота:

Длина траектории центра:

💡 Почему так

Центр шестиугольника всегда отстоит на от вершины, вокруг которой идёт поворот. Поэтому длина траектории равна , умноженному на суммарный угол поворота в радианах.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото