Из вершины B ромба ABCD проведены перпендикуляры… (геометрия)

№

Ромб, перпендикуляры к сторонам

⚠️

Задание * обрезано (видны только первые слова условия), поэтому не решено. Перефотографируйте нижнюю часть страницы ближе и крупнее.

Из вершины $B$ ромба $A B C D$ проведены перпендикуляры $B K$ и $B M$ к прямым $A D$ и $D C$ . Докажите, что луч $B D$ является биссектрисой угла $K B M$ .

Решение

Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому , то есть — биссектриса угла .
Точка лежит на биссектрисе угла , поэтому она равноудалена от его сторон: .
Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе (общая) и катету ().
Из равенства треугольников , значит, — биссектриса угла .

💡 Почему так

Диагональ ромба делит его угол пополам, а точки биссектрисы равноудалены от сторон угла. Из равных прямоугольных треугольников следуют равные углы.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: , значит, — биссектриса угла .

№

Расстояния от точки пересечения диагоналей ромба до сторон

Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Решение

Пусть — точка пересечения диагоналей ромба , а и — перпендикуляры из к сторонам и .

Диагональ ромба — биссектриса угла , значит, лежит на биссектрисе угла . Поэтому .
Диагональ — биссектриса угла , поэтому расстояния от до и равны.
Аналогично для вершин и : расстояния от до и равны, а также до и .
Следовательно, расстояния от до всех четырёх сторон равны.

💡 Почему так

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, а каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех его сторон.

№

Середина отрезка и средняя линия треугольника

Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Решение

Пусть — любая точка на стороне , — середина , и — середины и .

— средняя линия треугольника , поэтому и .
— средняя линия треугольника , поэтому , то есть , и .
Через точку проходит единственная прямая, параллельная , поэтому лежит на прямой .
Так как и отложена от в сторону , точка лежит на отрезке .

💡 Почему так

Средняя линия треугольника параллельна основанию. Через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: середина отрезка лежит на отрезке .

№

Квадрат, диагональ и перпендикулярная прямая

Диагональ $A C$ квадрата $A B C D$ равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная к прямой $A C$ , пересекает прямые $B C$ и $C D$ соответственно в точках $M$ и $N$ . Найдите $M N$ .

Решение

Диагональ квадрата образует со стороной угол , поэтому (так как лежит на прямой , угол равен ).
В треугольнике угол , , значит, и см.
Аналогично в треугольнике : см.
Точки и лежат на одной прямой по разные стороны от , поэтому

💡 Почему так

Прямоугольный треугольник с углом равнобедренный, поэтому катеты равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№

Квадрат, равенство отрезков

На диагонали $A C$ квадрата $A B C D$ взята точка $M$ так, что $A M = A B$ . Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная к прямой $A C$ и пересекающая $B C$ в точке $H$ . Докажите, что $B H = H M = M C$ .

Решение

Прямоугольные треугольники () и () имеют общую гипотенузу и катеты , значит, они равны. Отсюда .
Диагональ квадрата образует со стороной угол , значит, .
В треугольнике : , , следовательно, , и треугольник равнобедренный: .
Итак, .

💡 Почему так

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Прямоугольный треугольник с углом равнобедренный.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: .

№

Трапеция, периметр

В трапеции $A B C D$ с бо́льшим основанием $A D$ диагональ $A C$ перпендикулярна к боковой стороне $C D$ , $∠ B A C = ∠ C A D$ . Найдите $A D$ , если периметр трапеции равен 20 см, а $∠ D = 6 0^{\circ}$ .

Решение

В треугольнике : , , поэтому и .
, значит, . Трапеция равнобедренная: .
(накрест лежащие при ), и , поэтому треугольник равнобедренный: .
Пусть , тогда , . Периметр:
см.

💡 Почему так

Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№

*Отрезок между серединами оснований трапеции

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $9 0^{\circ}$ . Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Решение

Пусть в трапеции основания , . Пусть и — середины и .

Продолжим боковые стороны и до пересечения в точке . В треугольнике : .
Треугольник подобен треугольнику (), поэтому он тоже прямоугольный с .
— медиана к гипотенузе , поэтому . Аналогично .
Гомотетия с центром , переводящая в , переводит середину в середину , поэтому точки , , лежат на одной прямой, причём лежит между и .
Тогда

💡 Почему так

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: .

Помогло?

Из вершины B ромба ABCD проведены перпендикуляры BK и BM к прямым…