Евгений выбрал 23 любимые буквы… (вероятность и статистика)

№ Подсчёт палиндромов с заданным буквосочетанием

Евгений выбрал 23 любимые буквы русского языка и принялся составлять из них палиндромы, то есть слова (не обязательно осмысленные), которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, ЪУРРУЪ и БЯБ являются палиндромами, а ЭХЭХХХ и ОР — нет). Используя только свои любимые буквы, Евгений выписал все палиндромы длиной не более шести букв, в которых присутствует буквосочетание АБ (буквы А и Б входят в число любимых). Сколько всего палиндромов у него получилось?

Решение

Палиндром однозначно задаётся своей первой половиной (для нечётной длины — вместе с серединой). Букв всего .

Длина и . Сочетание АБ в слове из одной буквы не поместится. Из двух букв это было бы слово АБ, но оно не палиндром. Вариантов .

Длина (). Сочетание АБ есть у слов АБА и БАБ. Вариантов .

Длина (). Средние буквы одинаковы, поэтому АБ может стоять только на краю: АББА и БААБ. Вариантов .

Длина (, три свободные буквы). Пары соседних букв: , , , . Сочетание АБ получается в четырёх случаях:

, буква любая: слова;
, буква любая: слова;
, буква любая: слова;
, буква любая: слова.

Всего . Слова, попавшие сразу в два случая, посчитаны дважды. Это АБАБА (первый и третий случаи) и БАББА... точнее, слово с , то есть БАБАБ (второй и четвёртый случаи). Остальные пары случаев несовместимы, так как требуют разных значений . Значит, .

Длина (). Средняя пара одинаковых букв АБ не даёт, остальные пары те же, что и при длине . Рассуждение то же, получаем .

Итого:

💡 Почему так

Палиндром определяется своей первой половиной. Число вариантов считают по случаям, а слова, попавшие в два случая сразу, вычитают, чтобы не считать их дважды.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Евгений выбрал 23 любимые буквы русского языка и принялся составлять из них…