Евгений выбрал 26 любимых букв… (вероятность и статистика)

№ Подсчёт палиндромов с буквосочетанием АБ

Евгений выбрал $26$ любимых букв русского языка и принялся составлять из них палиндромы, то есть слова (не обязательно осмысленные), которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, ЪУРРУЪ и БЯБ являются палиндромами, а ЭХЭХХХ и ОР — нет). Используя только свои любимые буквы, Евгений выписал все палиндромы длиной не более шести букв, в которых присутствует буквосочетание АБ (буквы А и Б входят в число любимых). Сколько всего палиндромов у него получилось?

Решение

Палиндром однозначно задаётся своей первой половиной, а каждая буква первой половины выбирается из букв. Считаем отдельно по длинам.

Длина и . Сочетание АБ не поместится в слове из одной буквы, а слово из двух букв АБ не палиндром. Получаем слов.

Длина , вид . Сочетание АБ возможно только в слове АБА или БАБ. Получаем слова.

Длина , вид . Средние буквы равны, поэтому АБ не может стоять в позициях –. Остаются АББА (позиции –) и БААБ (позиции –). Получаем слова.

Длина , вид . АБ может стоять в одной из четырёх пар позиций:

позиции –: , то есть АБzБА, и любая: слов;
позиции –: , то есть xАБАx: слов;
позиции –: , то есть xБАБx: слов;
позиции –: , то есть БАzАБ: слов.

Слова считаются дважды, если у них есть сразу два вхождения АБ: это АБАБА и БАБАБ. Других пересечений нет: остальные пары условий требуют разных букв на одном месте. Получаем слова.

Длина , вид . Позиции – заняты одинаковыми буквами, поэтому АБ там быть не может. Остаются случая:

позиции –: , любая: слов;
позиции –: , любая: слов;
позиции –: , любая: слов;
позиции –: , любая: слов.

Двойные вхождения дают слова АБАААБА... — точнее, АБААБА и БАББАБ, их надо вычесть по одному разу. Получаем слова.

Итого:

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Евгений выбрал 26 любимых букв русского языка и принялся составлять из них…