Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является…

Пусть в параллелограмме угол .

1. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому .
2. Так как , углы и — односторонние при секущей , поэтому . Отсюда .
3. .

Все четыре угла прямые, значит — прямоугольник.

Пусть в четырёхугольнике все углы прямые.

1. Рассмотрим прямые и и секущую . Односторонние углы: , значит .
2. Аналогично для и и секущей : , значит .
3. Противоположные стороны попарно параллельны, значит — параллелограмм.
4. У параллелограмма есть прямой угол, следовательно, он прямоугольник.

Для пункта а) биссектриса пересекает в точке (на чертеже вид сверху поменяли местами стороны, суть та же).

Общий приём: биссектриса отсекает равнобедренный треугольник. Так как , то (накрест лежащие), а . Значит, и .

а) :

см. Отрезок может быть любым из двух, поэтому два случая.

1. см: см.

2. см: см.

б) Аналогично биссектриса пересекает в точке , . дм.

1. дм: дм.

2. дм: дм.

1. Диагонали прямоугольника равны: .
2. Диагонали параллелограмма (а прямоугольник — параллелограмм) точкой пересечения делятся пополам, поэтому , .
3. Так как , то .
4. В треугольнике : , в треугольнике : .

Значит, оба треугольника равнобедренные.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: см.
2. , значит (накрест лежащие).
3. В прямоугольном треугольнике () катет лежит против угла , поэтому см.
4. см, треугольник равносторонний.

Пусть в треугольнике угол , — медиана к гипотенузе (на чертеже — середина ).

1. Достроим треугольник до прямоугольника : проведём через прямую, параллельную , а через — параллельную ; они пересекаются в точке . Получился параллелограмм с прямым углом , то есть прямоугольник.
2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Диагонали — и , их точка пересечения — середина , то есть .
3. .

Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.