Докажите, что параллелограмм, один из углов… (геометрия)

№

Признак прямоугольника

Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Решение

Пусть в параллелограмме угол .

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому .
, и — секущая, поэтому . Отсюда .
Аналогично .

Все четыре угла прямые, значит — прямоугольник.

💡 Почему так

Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами. Односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают .

Ответ

Доказано: все углы параллелограмма равны , значит он прямоугольник.

№

Четырёхугольник с прямыми углами

Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Решение

Пусть в четырёхугольнике все углы равны .

. Это односторонние углы при прямых и и секущей , поэтому .
. Это односторонние углы при прямых и и секущей , поэтому .
Противоположные стороны попарно параллельны, значит — параллелограмм.
У этого параллелограмма есть прямой угол, поэтому он прямоугольник (задача ).

💡 Почему так

Если односторонние углы в сумме дают , то прямые параллельны.

Ответ

Доказано: — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

№

Периметр прямоугольника и биссектриса

Найдите периметр прямоугольника $A B C D$ , если биссектриса угла $A$ делит сторону: а) $B C$ на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) $D C$ на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Решение

Пусть биссектриса угла пересекает сторону в точке .

Общая идея. Угол прямой, поэтому биссектриса образует со сторонами углы по . Если лежит на , то (накрест лежащие углы при ). Значит, , треугольник равнобедренный и . Аналогично, если лежит на , то .

а) лежит на , . Сторона см. Возможны два случая.

см: см.
см: см.

б) лежит на , . Сторона дм.

дм: дм.
дм: дм.

💡 Почему так

Биссектриса прямого угла отсекает от прямоугольника равнобедренный прямоугольный треугольник. Порядок отрезков на рисунке не задан, поэтому получаются два случая.

Ответ

а) , см или , см;
б) , дм или , дм.

№

Диагонали прямоугольника

Диагонали прямоугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что треугольники $A O D$ и $A O B$ равнобедренные.

Решение

Диагонали прямоугольника равны: .
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому и .
Следовательно, .
В треугольнике стороны , значит он равнобедренный с основанием .
В треугольнике стороны , значит он равнобедренный с основанием .

💡 Почему так

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому все четыре отрезка от центра до вершин равны.

Ответ

Доказано: , поэтому треугольники и равнобедренные.

№

Периметр треугольника в прямоугольнике

В прямоугольнике $A B C D$ диагонали пересекаются в точке $O$ . Найдите периметр треугольника $A O B$ , если $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ , $A C = 12$ см.

Решение

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: см.
Треугольник прямоугольный () с углом . Катет против угла равен половине гипотенузы: см.
см как противоположные стороны прямоугольника.
В треугольнике все стороны равны см, то есть он равносторонний.

💡 Почему так

Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ

см

Помогло?

Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является…