Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в… (геометрия)

№ (В-)Диагонали прямоугольника

Диагонали прямоугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$ . Найдите угол между диагоналями, если $∠ A B O = 3 0^{\circ}$ .

Решение

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому , и треугольник равнобедренный с основанием .

Значит, .

Угол из суммы углов треугольника:

Смежный с ним угол:

Угол между диагоналями — острый из двух углов, то есть

Ответ

(углы между диагоналями: и )

№ (В-)Биссектриса угла параллелограмма

В параллелограмме $K M N P$ проведена биссектриса угла $K$ , которая пересекает сторону $M N$ в точке $E$ .
а) Докажите, что треугольник $K M E$ равнобедренный.
б) Найдите сторону $K P$ , если $M E = 10$ см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Решение

Точка лежит на (на рисунке она совпадает с лишь из-за масштаба; в задаче — внутренняя точка стороны).

а) , — секущая, поэтому (накрест лежащие).
— биссектриса, поэтому .
Отсюда , и треугольник равнобедренный с основанием .

б) Из равнобедренности см.
Периметр: , откуда

Ответ

а) доказано; б) см

№ (В-)Диагонали ромба

Диагонали ромба $K M N P$ пересекаются в точке $O$ . Найдите углы треугольника $K M O$ , если $∠ M N P = 8 0^{\circ}$ .

Решение

Противоположные углы ромба равны: .

Диагональ — биссектриса угла :

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому

Третий угол:

Ответ

, ,

№ (В-)Биссектриса и периметр параллелограмма

На стороне $B C$ параллелограмма $A B C D$ взята точка $M$ так, что $A B = B M$ .
а) Докажите, что $A M$ — биссектриса угла $B A D$ .
б) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что $C D = 8$ см, $C M = 4$ см.

Решение

а) , значит, треугольник равнобедренный и .
, — секущая, поэтому (накрест лежащие).
Отсюда , то есть — биссектриса угла .

б) см (противоположные стороны параллелограмма), поэтому см.

Ответ

а) доказано; б) см

Помогло?

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между…