Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в… (геометрия)

№ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

⚠️

Не решены: задание (верх страницы обрезан, условие не видно) и задание (не видно, какая точка K, в условии она не определена; без этого вектор BK не выразить). Для пришлите фото, где видно условие целиком: ближе и крупнее.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точка E лежит на стороне CD так, что DE : EC = 2 : 5. Выразите вектор $O E$ через векторы $x = A B$ и $y = A D$ .

Решение

O — середина диагонали AC, поэтому .
, значит . Так как , то .
.

Ответ

№ Построение точек на окружности по векторным условиям

На окружности с центром O постройте такие точки A, B, C, что:
а) $O A + O B = 0$ ;
б) $O A + O B = O C$ ;
в) $∣ O B - O A ∣ = ∣ O C ∣$ .

Решение

а) Сумма равна нулю, если векторы противоположны. Значит, A и B — концы одного диаметра.

Построение: проводим диаметр и отмечаем его концы A и B.

б) Все три вектора имеют длину r (радиус). Сумма — диагональ ромба, построенного на этих векторах. Её длина равна r, только если угол AOB равен °. Тогда треугольники OAC и OBC равносторонние.

Построение: берём любую точку A на окружности. Откладываем угол AOB = °. Точка C — середина дуги AB (на ней , ).

в) . Условие означает . Значит, хорда AB равна радиусу, а треугольник OAB равносторонний. Точка C — любая точка окружности.

Построение: берём любую точку A. Циркулем с раствором r отмечаем на окружности точку B (). C — любая точка окружности.

Ответ

а) A и B — концы диаметра.
б) Угол AOB = °, C — середина дуги AB.
в) Хорда AB = r (угол AOB = °), C — любая точка окружности.

№ Построение векторов

Начертите два неколлинеарных вектора $a$ и $b$ . Постройте векторы, равные: а) $\frac{1}{2} a + 3 b$ ; б) $2 b - a$ .

Решение

Берём длиной клетки по горизонтали и с координатами .

а) От точки O откладываем (до точки M), затем от M вектор (до точки N). Вектор — искомый.

б) От точки O откладываем (до точки R), затем от R вектор (до точки S, он противоположен по направлению). Вектор — искомый.

Ответ

а) (в координатах );
б) (в координатах ).

№ Выражение векторов в ромбе

На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $A O$ , $A K$ , $K D$ через векторы $a = A B$ и $b = A D$ .

Решение

O — середина диагонали AC, , поэтому
K — середина BC и , поэтому . Тогда

Ответ

; ; .

Помогло?

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точка E лежит на стороне…