Даны прямая a и точка K, которая не лежит на этой прямой. Через точку K проведены прямые m и l, пересекающие прямую a. Докажите, что прямые a, m и l лежат в одной плоскости.
- Через прямую a и не лежащую на ней точку K проходит единственная плоскость. Обозначим её
. - Пусть прямая m пересекает a в точке
. Точки и лежат в , значит, вся прямая m лежит в . - Пусть прямая l пересекает a в точке
. Точки и лежат в , значит, прямая l тоже лежит в . - Прямые a, m и l лежат в одной плоскости
. Что и требовалось доказать.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Плоскость однозначно задаётся прямой и точкой вне неё.
Доказано: a, m и l лежат в плоскости, проходящей через a и K.
Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Вершина C не лежит в этой плоскости. Через середины боковых сторон трапеции проведена прямая m. Докажите, что прямая m параллельна плоскости α.
- Пусть M и N — середины боковых сторон AB и CD. Тогда
— средняя линия трапеции, прямая m = , и . - Прямая AD лежит в плоскости α.
- Прямая m не лежит в α. Иначе точки A и M лежали бы в α, а значит, и вся прямая AB, и точка B. Тогда вся плоскость трапеции совпала бы с α и C лежала бы в α, что противоречит условию.
- Прямая m не лежит в α и параллельна прямой AD, лежащей в α. По признаку параллельности прямой и плоскости
.
Признак: если прямая вне плоскости параллельна какой-либо прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказано:
Через точку K, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые a и b. Первая прямая пересекает плоскости α и β в точках A1 и B1 соответственно, вторая — в точках A2 и B2. Вычислите длину отрезка KB2, если A1A2:B1B2=3:5, A2B2=16 см.
-
Прямые a и b пересекаются в точке K, поэтому лежат в одной плоскости. Она пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым, значит,
. -
Треугольники
и подобны по двум углам (вертикальные углы при K и накрест лежащие при параллельных прямых). Коэффициент подобия , поэтому . -
Точка K лежит между плоскостями, значит, между
и . Поэтому . -
Пусть
, . Тогда , .
Плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, пересекает их по параллельным прямым, откуда следует подобие треугольников.
Через середину M стороны AD квадрата ABCD проведён к его плоскости перпендикуляр MK, равный 63 см. Сторона квадрата равна 12 см. Вычислите расстояние от точки K до прямой BC, площади треугольника AKB и его проекции на плоскость квадрата.
Пусть H — середина BC. Тогда
Расстояние от K до BC. MH — проекция наклонной KH на плоскость квадрата и
Площадь треугольника AKB.
Площадь проекции. Проекция точки K на плоскость квадрата — точка M, поэтому проекция треугольника AKB — треугольник AMB с прямым углом при A.
Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной. Площадь проекции равна
Расстояние от K до BC равно
Прямая m пересекает лучи AB, AC и AD в точках K, P и T. Докажите, что точки A, K, P и T лежат в одной плоскости.
- Точки K, P и T лежат на прямой m. Через прямую m и не лежащую на ней точку A проходит единственная плоскость
. - Точки K, P и T лежат на прямой m, лежащей в
, поэтому они принадлежат . Точка A принадлежит по построению. - Значит, все четыре точки A, K, P и T лежат в одной плоскости
. Что и требовалось доказать.
Прямая и точка вне её однозначно задают плоскость, а все точки этой прямой лежат в ней.
Доказано: A, K, P и T лежат в плоскости, проходящей через прямую m и точку A.
