Дано (рис. 18): BG ∥ CF ∥ DE, AB = 7, BC… (геометрия)

№ Теорема о пропорциональных отрезках (Фалеса)

Дано (рис. 18): $B G ∥ C F ∥ D E$ , $A B = 7$ , $B C = 3$ , $C D = 2$ . Найти: $A G : GF : F E$ .

Решение

Параллельные прямые , , отсекают на сторонах угла с вершиной пропорциональные отрезки (теорема о пропорциональных отрезках):

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Теорема Менелая

Дано (рис. 19): $Δ A B C$ , $N \in A C$ , $A N : N C = 5 : 4$ , $P \in B C$ , $B P : P C = 3 : 2$ , $O = A P \cap B N$ . Найти: $A O : O P$ .

Решение

Применим теорему Менелая к и секущей (точки , , ):

Так как , то . Далее .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Подобные треугольники, периметр

Дано (рис. 20): $Δ A B C \sim Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B : B C : A C = 3 : 4 : 5$ , $P_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 36$ . Найти: $S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}}$ , $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ .

Решение

Стороны подобного треугольника пропорциональны . Пусть , , .

, , .

Так как , треугольник прямоугольный с катетами и :

Ответ

✓ dzmen.ru

, , ,

№

Площади подобных треугольников

Дано (рис. 21): $Δ A B C \sim Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = 36$ , $S_{A B C} = 9$ , $A_{1} C_{1} = 10$ . Найти: $A C$ , $h_{A C}$ .

Решение

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Тогда .

Высота: , откуда

Ответ

✓ dzmen.ru

№

Медианы треугольника

Дано (рис. 22): $Δ A B C$ , $M \in A B$ , $B M : M A = 1 : 1$ , $L \in C B$ , $P = A C \cap L M$ , $A C = C P$ , $B C = 6$ . Найти: наибольший из отрезков $C L$ и $L B$ .

Решение

Рассмотрим . — середина , — середина (так как ). Значит, и — медианы этого треугольника, а — точка их пересечения.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины: .

Ответ

✓ dzmen.ru

Наибольший отрезок — (при этом ).

№

Теорема Менелая

Дано (рис. 23): $Δ A B C$ , $M \in A C$ , $A M : M C = 4 : 3$ , $P \in B C$ , $B P : P C = 1 : 5$ , $Q = A P \cap B M$ . Найти: $A Q : QP$ , $B Q : QM$ .

Решение

Отношение . Теорема Менелая для и секущей (точки , , ):

, значит ; .

Отношение . Теорема Менелая для и секущей (точки , , ):

, .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?