Дано: MN ∥ PQ, N ∈ α, Q ∈ α, MN =… (геометрия)

№

Прямая и плоскость, подобие треугольников

Дано: $M N ∥ P Q$ , $N \in α$ , $Q \in α$ , $M N = 10$ см, $P Q = 6$ см, $N Q = 4$ см.
а) Докажите, что прямая $M P$ пересекает плоскость $α$ в некоторой точке $F$ .
б) Найдите отрезок $QF$ .
Решение.
а) Прямые $M N$ и $P Q$ лежат в некоторой плоскости $β$ , так как ______. Прямые $M P$ и $N Q$ не параллельны, так как в противном случае четырёхугольник $M N QP$ был бы ______ и поэтому выполнялось бы равенство $M N =$ ______, что противоречит ______, следовательно, прямая $M P$ пересекает прямую $N Q$ в некоторой точке $F$ . Так как $N Q$ — линия пересечения плоскостей ______, то $F \in α$ , и, значит, прямая $M P$ ______.
б) Так как $P Q ∥ M N$ , то $△ P QF \sim$ ______. Следовательно, $\frac{QF}{N F} = \frac{P Q}{\dots}$ , т. е. $\frac{\dots}{QF + 4} = \frac{6}{10}$ , откуда $QF =$ ____ см.
Ответ. б) $QF =$ ____ см.

Решение

Чертёж: плоскость содержит ; точка лежит на продолжении за точку .

а) Прямые и параллельны, а через две параллельные прямые проходит плоскость . Если бы , то был бы параллелограммом, и тогда , что противоречит условию (). Значит, и лежат в одной плоскости и не параллельны, поэтому пересекаются в точке . Прямая — линия пересечения плоскостей и , поэтому .

б) Так как , то (по двум углам). Тогда:

, значит

💡 Почему так

Две параллельные прямые задают плоскость. Параллельная стороне прямая отсекает подобный треугольник, поэтому стороны пропорциональны.

Ответ

а) заполнить пропуски: через две параллельные прямые проходит плоскость; параллелограммом; ; условию (); и ; пересекает плоскость в точке .
б) ; ; ; см.
Ответ: см.

Помогло?