Прямая c пересекает прямую a и не пересекает… (геометрия)

Скрещивающиеся прямые: признак

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ и не пересекает прямую $b$ , параллельную прямой $a$ . Докажите, что $b$ и $c$ — скрещивающиеся прямые (задача 36 учебника).

Доказательство. Пусть прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$ . Прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой ______ $β$ , так как ______. $M \in a$ , поэтому $M \in β$ , но $M \in / b$ , так как ______. Прямая $c$ не лежит в плоскости $β$ , так как в противном случае она пересекала бы ______, а по условию ______.

Итак, прямая $b$ лежит в плоскости $β$ , а прямая $c$ пересекает ______ в точке $M \in / b$ , поэтому, согласно ______, прямые $b$ и $c$ — ______.

Решение

Заполняем пропуски по порядку.

Прямые и лежат в некоторой плоскости , так как они параллельны (через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна).
, поэтому . Но , так как и у них нет общих точек, а лежит на .
Прямая не лежит в плоскости : иначе она, лежа в одной плоскости с , пересекала бы прямую (или была бы ей параллельна), а по условию не пересекает . Заметим, что в плоскости две прямые, не пересекающиеся, параллельны. Но проходит через , а через точку вне в плоскости можно провести только одну прямую, параллельную , — это . Значит, совпала бы с , что невозможно, поскольку пересекает (а не совпадает с ней). Поэтому .
Итак, лежит в плоскости , а прямая пересекает эту плоскость в точке . По признаку скрещивающихся прямых (прямая, лежащая в плоскости, и прямая, пересекающая эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, скрещиваются) прямые и скрещивающиеся.

💡 Почему так

Признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Ответ

плоскости;
через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна (они параллельны);
и параллельны и не имеют общих точек;
прямую ;
не пересекает ;
плоскость ;
признаку скрещивающихся прямых;
скрещивающиеся.

Помогло?

Прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную прямой…