Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, K ∈ AD. Доказать: A₁C и C₁K скрещивающиеся.

Считаем, что (на рисунке лежит на продолжении за точку ).

Доказываем по признаку скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.

1. Рассмотрим плоскость диагонального сечения . Точки и лежат в ней, поэтому .
2. , поэтому прямая имеет с этой плоскостью общую точку . Прямая не лежит в плоскости: плоскость пересекает прямую только в точке , а , значит . Следовательно, .
3. : — диагональ куба, а — вершина, не лежащая на ней.
4. Прямая лежит в плоскости, прямая пересекает её в точке . По признаку и скрещиваются, что и требовалось доказать.