Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: BD₁ и A₁B₁ — скрещивающиеся прямые.

Используем признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

1. Прямая лежит в плоскости верхнего основания .

2. Прямая не лежит в этой плоскости: точка лежит в нижнем основании, а не в верхнем. Значит, пересекает плоскость ровно в одной точке — в точке .

3. Точка не лежит на прямой : — квадрат, и его вершина не принадлежит стороне и её продолжению.

4. По признаку прямые и скрещивающиеся. Что и требовалось доказать.