Через точку A, не лежащую на прямой a, проведены три прямые, пересекающие прямую a. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой a.
Докажем от противного.
-
Допустим, что хотя бы две из трёх проведённых прямых перпендикулярны к прямой
— это противоположно утверждению задачи. Тогда через точку проходят две различные прямые, перпендикулярные прямой . -
Но через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной (теорема о единственности перпендикуляра).
-
Получили противоречие, значит, предположение неверно: не более одной из трёх прямых перпендикулярна прямой
. -
Следовательно, из трёх прямых как минимум
прямые не перпендикулярны прямой . Что и требовалось доказать.
Через точку вне прямой проходит ровно один перпендикуляр к этой прямой. Поэтому среди трёх прямых через
Доказано: перпендикулярной к
