Через точки M, P, R. (Построить сечение… (геометрия)

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

⚠️

Задания , и слева обрезаны, их рисунки не видны, поэтому они не решены. Решены , и . Чтобы решить остальные, сфотографируйте страницу целиком или по – задания крупнее. Положение точек на рёбрах определено по рисунку приблизительно.

Через точки M, P, R. (Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки M, P, R. Точка P лежит на ребре $A A_{1}$ , R — на ребре $B B_{1}$ , M — на ребре $C C_{1}$ .)

Решение

Точки P, R, M лежат на трёх боковых рёбрах , , . Соединяем P с R (грань ) и R с M (грань ).
Грани и параллельны, поэтому плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через M проводим прямую, параллельную PR, в грани и находим, где плоскость выходит на нижнюю грань. Четвёртое ребро плоскость не пересекает: P и M расположены ниже R, поэтому плоскость уходит под основание.
Плоскость пересекает основание по прямой KN. Точка N лежит на ребре CD (её находим как пересечение MN с CD в грани ), точка K лежит на ребре AD, потому что (параллельные грани).
Соединяем M с N, N с K, K с P.

Сечение — пятиугольник PRMNK.

💡 Почему так

Параллельные грани плоскость пересекает по параллельным отрезкам. Если плоскость не доходит до четвёртого бокового ребра, она пересекает основание, и сечение становится пятиугольником.

Ответ

Сечение — пятиугольник PRMNK, где N лежит на ребре CD, K — на ребре AD.

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Через точки M, P, R. (Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки M, P, R. Точка M лежит на ребре $D D_{1}$ вблизи D, P — на ребре $C C_{1}$ вблизи $C_{1}$ , R — на ребре AB вблизи B.)

Решение

M и P лежат в грани . Соединяем M с P.
Грани и параллельны. Через R проводим в грани прямую, параллельную MP, она пересекает ребро в точке T.
Грани и параллельны. Соединяем T с P (грань ), затем через M в грани проводим прямую, параллельную TP. Она пересекает ребро AD в точке K.
Соединяем K с R в основании.

Сечение — пятиугольник KRTPM.

💡 Почему так

Стороны сечения в параллельных гранях параллельны, поэтому по трём точкам последовательно находим остальные вершины.

Ответ

Сечение — пятиугольник KRTPM, где T лежит на ребре , K — на ребре AD.

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Через точки M, P, R. (Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки M, P, R. Точка P лежит на ребре $A A_{1}$ вблизи A, R — на ребре $B_{1} C_{1}$ , M — на ребре $C C_{1}$ вблизи $C_{1}$ .)

Решение

R и M лежат в грани . Проводим RM и продолжаем её до пересечения с прямой BC в точке X (X лежит в плоскости основания).
Параллельные грани и плоскость пересекает по параллельным прямым. Через P в грани проводим , K лежит на ребре AD.
Точки K и X лежат в плоскости основания. Прямая KX пересекает ребро CD в точке N. Соединяем M с N (грань ).
Параллельные основания пересечены плоскостью по параллельным прямым, поэтому в верхней грани через R проводим , S лежит на ребре .
Соединяем P с S (грань , ).

Сечение — шестиугольник PSRMNK.

💡 Почему так

Прямая RM пересекает плоскость основания в точке X. Это позволяет найти след сечения KN на основании, а затем провести остальные стороны параллельно сторонам в противоположных гранях.

Ответ

Сечение — шестиугольник PSRMNK, где S лежит на ребре , N — на ребре CD, K — на ребре AD.

Помогло?

Через точки M, P, R. (Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁…