1. Равенство двух алгебраических выражений… (алгебра)

Первичный контрольИррациональные уравнения: основные понятия

Равенство двух алгебраических выражений называется ____.
Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений, называется ____.
Выпишите уравнения, которые являются иррациональными: 1) $x + x = 2$ ; 2) $x^{2} + 2 x 3 = 1$ ; 3) $3 x + 2 = - 1$ ;

$7 (x - 1) = 3 x$ ;
$y + y^{2} + 9 = 2$ .

Корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований, называется ____.

Решение

Равенство двух алгебраических выражений с переменной называется уравнением.
Решения иррационального уравнения проверяют подстановкой найденных значений в исходное уравнение. Этот способ называется проверкой.
Уравнение иррациональное, если переменная стоит под знаком корня.

В уравнении ) переменная под корнем: .
В уравнении ) под корнем стоит только число , то есть — это коэффициент при . Уравнение ) — квадратное, не иррациональное.
В уравнении ) переменная под кубическим корнем: .
В уравнении ) переменная под корнем: .
В уравнении ) переменная под корнем: .

При возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут появиться лишние корни. Такой корень называется посторонним.

💡 Почему так

Иррациональное уравнение содержит неизвестное под знаком корня. Возведение в чётную степень — неравносильное преобразование, после него нужна проверка.

Ответ

уравнением.
проверкой.
), ), ), ).
посторонним.

№ Решение иррациональных уравнений

Решить иррациональные уравнения.
a. $x^{2} - 1 = 2$
b. $3 + 3 x + 1 = x$
c. $x + 2 = 2 x - 3$

Решение

a) Возводим обе части в квадрат:

Проверка:

для обоих значений, оба корня подходят.

b) Уединяем корень:

Должно быть

, то есть

. Возводим в квадрат:

Корень

не удовлетворяет условию

, он посторонний.
Проверка

, верно.

c) Возводим в квадрат:

Проверка:

, верно.

💡 Почему так

Чтобы избавиться от квадратного корня, обе части возводят в квадрат. Затем обязательна проверка (или условие, что подкоренные выражения и правая часть неотрицательны), чтобы отсеять посторонние корни.

Ответ

a)
b)
c)

Контрольные вопросыОпределение и метод решения иррациональных уравнений

Сформулируйте определение иррационального уравнения и опишите метод его решения.
В каких случаях надо находить ОДЗ или делать проверку?

Решение

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня (радикала).

Метод решения:

Уединить корень.
Возвести обе части уравнения в степень, равную показателю корня.
Решить полученное уравнение.
Проверить найденные корни.

Если корней несколько, повторяют возведение в степень, пока не избавятся от всех корней.

ОДЗ находят, когда есть корни чётной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Проверку делают, когда обе части возводились в чётную степень, потому что это неравносильное преобразование и могут появиться посторонние корни. Проверку можно заменить ОДЗ и условием, что часть уравнения, равная корню, неотрицательна. При возведении в нечётную степень уравнение равносильно исходному, и проверка не обязательна.

Ответ

Иррациональное уравнение содержит неизвестное под знаком корня. Решают его возведением обеих частей в степень, затем проверяют корни.
ОДЗ или проверка нужны при корнях чётной степени и при возведении обеих частей в чётную степень, потому что могут появиться посторонние корни.

Вывод: иррациональные уравнения решаются возведением в степень с обязательной проверкой корней. Так отсеиваются посторонние корни, например в примере b.

Помогло?

1. Равенство двух алгебраических выражений называется . 2. Способ, которым…