№ .Прямоугольный треугольник и средние линии
Постройте треугольник ABC с вершинами A(3; 5), B(3; −2), C(−5; −2). а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки. б) Соедините отрезками середины K, M и N сторон AC, BC и AB. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC.
Решение
Построим точки и соединим их. У A и B одинаковая абсцисса , поэтому AB вертикален. У B и C одинаковая ордината −, поэтому BC горизонтален. Вертикальный и горизонтальный отрезки перпендикулярны; прямой угол расположен в B.
Середина BC лежит на половине пути от − до : , значит, . Середина AB имеет ординату , значит, . Для середины AC берём половины обоих перемещений: от C до A клеток вправо и вверх, поэтому .
AB = клеток, BC = клеток. У малого треугольника KM = , клетки, KN = клетки. Значит, , . У наклонного отрезка MN горизонтальное смещение равно клетки, вертикальное — , клетки. У AC такие же смещения равны и клеткам, то есть вдвое больше. Если измерить наклонные отрезки линейкой или перенести раствор циркуля, MN укладывается в AC два раза. Поэтому . Все три отношения одинаковы.
Ответ
а) Треугольник прямоугольный, . б) .
