В каждую клетку квадрата размером 6×6 клеток вписали одно из чисел −1, 0, 1. Могут ли суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными?
-
Посчитаем, сколько всего сумм. В квадрате
есть строк, столбцов и большие диагонали. Всего сумм. -
В каждой строке, столбце и на каждой диагонали по
чисел, каждое из которых равно , или . Наименьшая возможная сумма: , наибольшая: . Значит, каждая сумма — целое число от до . -
Сколько существует таких целых чисел? Это
— всего чисел. -
Получили
сумм, а различных значений для них возможно только . Если бы все суммы были разными, нам понадобилось бы разных чисел, а их всего . Значит, обязательно найдутся хотя бы две равные суммы.
Вывод: все
Нет, не могут.
