Пусть , , . Нужно найти наименьший круг, содержащий весь треугольник.
) Оценка снизу. Любые две точки круга радиуса лежат на расстоянии не больше диаметра . В круге должны лежать точки и , значит, , откуда см.
) Круг радиуса подходит. Построим круг с диаметром : его центр — середина , радиус см. Проверим, что вершина лежит внутри него. По теореме косинусов
значит, угол
тупой. Вершина тупого угла лежит внутри окружности, построенной на стороне
как на диаметре (для точек окружности угол
был бы прямым, для точек вне неё — острым, внутри неё — тупым). Следовательно, весь треугольник лежит в этом круге.
Наименьший радиус — см.
