В каждой строке и в каждом столбце клеток — число нечётное, поэтому клеток одного из цветов всегда больше половины и «тот цвет, которого было больше» определён однозначно (равенства не бывает).
Шаг . Строки. Перекрасим по очереди все строк, каждую — в тот цвет, которого в ней больше. Перекрашивание одной строки не меняет остальные строки, поэтому после этого каждая строка одноцветна: каждая либо целиком чёрная, либо целиком белая.
Шаг . Выбор цвета. Строк — нечётное число, поэтому строк одного цвета не меньше . Пусть, для определённости, не менее строк чёрные (если белые — рассуждение то же с заменой цветов).
Шаг . Столбцы. В любом столбце клетка в каждой строке имеет цвет этой строки. Значит, в каждом столбце не менее чёрных клеток из , то есть чёрных там больше. Перекрасим по очереди все столбцов — каждый станет целиком чёрным (это тот цвет, которого больше). Перекрашивание столбца не меняет цвет других столбцов, поэтому остальные столбцы остаются с тем же перевесом чёрного.
После шага все клетки квадрата чёрные. Следовательно, всегда можно добиться того, чтобы все клетки стали одного цвета.
