Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.
Дано: правильный многоугольник. Доказать: около него можно описать окружность, причём единственную.
-
Проведём биссектрисы углов при соседних вершинах
и ; пусть они пересекаются в . В треугольнике углы при и равны половине одного и того же угла правильного многоугольника. По признаку равнобедренного треугольника . -
Рассмотрим треугольники
и . В них — общая сторона, по определению правильного многоугольника, а , так как — биссектриса. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, , а угол тоже равен половине угла многоугольника: лежит на биссектрисе угла при . -
Повторяя тот же переход от вершины к следующей, получаем
. Все вершины лежат на окружности с центром и радиусом . Единственность следует из того, что окружность через три не лежащие на одной прямой вершины единственна.
Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность.
