Номер 960

Дано: — параллелограмм; — произвольная точка плоскости.

Доказать: $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$.

Доказательство.

1. Обозначим через точку пересечения диагоналей. По свойству параллелограмма диагонали делятся пополам: , . При этом $\overrightarrow{}$ и $\overrightarrow{}$ противоположны, как и $\overrightarrow{}$ и $\overrightarrow{}$.

2. По правилу треугольника $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$ и $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$. Сложим: $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, потому что сумма противоположных векторов равна $\stackrel{⃗}{}$.

3. Точно так же $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$. Их сумма $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$.

4. Обе части требуемого равенства равны $\overrightarrow{}$, следовательно, они равны друг другу. Положение точки в доказательстве не ограничивалось.

Утверждение доказано.