Номер 950

Дано: — равносторонний треугольник, .

Найти: пять длин векторов.

Решение.

1. а) По правилу треугольника $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, поэтому длина равна .

2. б) Достроим параллелограмм со сторонами $\overrightarrow{}$ и $\overrightarrow{}$. Его диагональ из изображает сумму. Так как , диагональ проходит через середину стороны , и её длина равна . В равностороннем треугольнике медиана является высотой. Из прямоугольного треугольника получаем и по теореме Пифагора . Значит, , а $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\sqrt{}$.

3. в) Отложим от вектор $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$. По правилу треугольника $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$. Продолжим до точки и опустим из перпендикуляр к этой прямой. Так как и угол между и равен , прямоугольный треугольник является половиной равностороннего треугольника со стороной . Поэтому , а по теореме Пифагора , то есть . Тогда . По теореме Пифагора в получаем . Следовательно, .

4. г) По теореме о разности $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$. Переставим слагаемые и применим правило треугольника: $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$. Его длина .

5. д) Аналогично $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, так как можно переставить слагаемые и пройти путь . Длина .

Все пять величин найдены.