Дано: и — вертикальные ( на одной прямой, на одной прямой); — биссектриса ; — биссектриса .
Доказать: точки , , лежат на одной прямой (то есть и — противоположные лучи).
Доказательство.
Так как и — вертикальные углы, по свойству вертикальных углов (доказанному в п. ) . Так как и — биссектрисы этих углов,
Значит,
. Обозначим эту величину
, а
.
Лучи расположены вокруг точки в порядке (так как противоположен , а противоположен ). Тогда угол от луча до луча , отсчитанный через и , равен
Так как
... луч
и луч
— не противоположны в общем случае, воспользуемся проще: угол от
до
развёрнутый (
, так как
на одной прямой), и этот развёрнутый угол состоит из углов
... Запишем иначе:
и
, где
. Тогда
Значит, угол развёрнутый, то есть лучи и — противоположные, а значит точки , , лежат на одной прямой.
