ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 793

№

Окружности около четырёхугольников высот

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ , $BM$ , $CN$ , пересекающиеся в точке $H$ . Докажите, что около каждого из четырёхугольников $CMHK$ , $AMHN$ , $BNHK$ можно описать окружность.

Решение

Дано: , , , — пересечение высот. Доказать: , , — вписанные четырёхугольники.

Поскольку , угол между и равен . Поскольку , . Это противоположные углы четырёхугольника , их сумма . По обратному свойству вписанного четырёхугольника окружность существует; её диаметр .
Для имеем из и из . Их сумма , значит, окружность существует; диаметр .
Для аналогично и . Следовательно, окружность существует; диаметр .

Ответ

Все три четырёхугольника вписаны в окружности с диаметрами соответственно , , .

Помогло?

Номер 793