Дано: любая прямая, пересекающая , пересекает и .
Доказать: .
Доказательство (методом от противного).
Предположим, что не параллельна . Тогда (так как две прямые на плоскости либо параллельны, либо пересекаются) прямые и пересекаются — пусть в точке .
Возьмём на прямой точку , отличную от . Через точку проведём прямую , параллельную (по аксиоме параллельных прямых такая прямая существует, так как : единственная общая точка и — это ).
Прямая отлична от (иначе , что мы не предполагали, а наоборот рассматриваем случай пересечения) и имеет с общую точку , значит пересекает . Но , то есть не пересекает — это противоречит условию (по условию любая прямая, пересекающая , обязана пересекать и ).
Значит, предположение неверно, и .
