Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.
Дано: стороны треугольника
-
Пусть
— проекция центра сферы на плоскость треугольника, а — точка касания сферы со стороной . Радиус к точке касания перпендикулярен касательной: (теорема п. о касательной к сфере). Так как всей плоскости, ортогональная проекция на неё есть . По теореме о трёх перпендикулярах . Аналогично расстояния от до трёх сторон одинаковы, потому что для каждого касательного радиуса по теореме Пифагора . Следовательно, — центр вписанной окружности треугольника, а — её радиус. -
Обозначим через
основание высоты из на . Высота к основанию равнобедренного треугольника является также медианой, поэтому см. По теореме Пифагора см. Площадь треугольника см . -
Полупериметр
см. По формуле площади треугольника через радиус вписанной окружности , откуда см. -
В прямоугольном треугольнике, образованном
, и точкой касания, по теореме Пифагора см. Это искомое расстояние.
