ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 894

№

Задача-исследование: сумма медиан и периметр треугольника

(Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.

Начертите произвольный треугольник $ABC$ и проведите медиану $BO$ .
На луче $BO$ отложите отрезок $OD = BO$ и соедините точку $D$ с точками $A$ и $C$ . Какой вид имеет четырёхугольник $ABCD$ ?
Рассмотрите треугольник $ABD$ . Сравните $2m_b$ с суммой $BC + AB$ ( $m_b$ — медиана $BO$ ).
Составьте аналогичные неравенства для $2m_a$ и $2m_c$ .
Используя сложение неравенств, оцените сумму медиан треугольника $m_a + m_b + m_c$ .

Решение

Чертим произвольный треугольник ; — середина стороны , — медиана, .

На луче отложен отрезок , значит — середина и стороны , и отрезка . Четырёхугольник , у которого диагонали и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Значит, и (противоположные стороны параллелограмма равны).
В треугольнике сторона (так как ), а сторона (доказано в п. ). По неравенству треугольника

то есть

Аналогично, построив продолжения медиан ( — середина ) и ( — середина ) на удвоенную длину, получаем такие же неравенства для двух других медиан:

Сложим почленно три полученных неравенства одного знака:

Разделим обе части на :

где — периметр треугольника .

💡 Почему так

Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм; в нём противоположные стороны равны. Использованы неравенство треугольника и теорема о почленном сложении неравенств.

Ответ

Четырёхугольник — параллелограмм. Сумма длин медиан треугольника меньше его периметра: .

Помогло?

Номер 894