ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 1005

№

Доказательство неравенства приведением к общему знаменателю

Докажите, что если $x>0$ и $y>0$ , то:
а) $\dfrac x{y^2}+\dfrac y{x^2}\geqslant\dfrac1x+\dfrac1y$ ;
б) $\dfrac{x^2}y+\dfrac{y^2}x\geqslant x+y$ .

Решение

а) Так как и , умножим обе части неравенства на положительное число . По каждому слагаемому: , , , . Получаем

Так как

, неравенство принимает вид

Поскольку

, разделим обе части на

что верно всегда. Значит, исходное неравенство доказано (равенство — при

б) Умножим обе части неравенства на положительное число :

Это то же неравенство, что и в пункте а), а оно уже доказано. Значит, неравенство б) тоже верно.

Ответ

а) После умножения на сводится к — верно всегда.
б) После умножения на сводится к тому же неравенству — верно всегда.

Помогло?

Номер 1005