ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер Гл.8 §5 Задача 3

Гл. § Задача Множества решений нелинейных неравенств

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству: 1) $|x|+|y|\ge3$ ; 2) $x^2+y^2\le4|x|$ ; 3) $\dfrac{x-25}{x^2+y^2-625}>\dfrac1{26}$ .

Решение

В каждой координатной четверти раскрываем модули по определению. При , получаем — точки на прямой через и и дальше от начала координат. В остальных четвертях так же получаем , и . Четыре граничных отрезка образуют квадрат с вершинами , , , . По знаку его стороны входят в ответ, а внутренность не входит.

Четверть	Граничная прямая	Точки пересечения с осями
I		,
II		,
III		,
IV		,

Если , то и неравенство равносильно . Выделение квадрата даёт : круг с центром радиуса . Весь этот круг лежит в полуплоскости и касается оси в начале координат.

Если , то . По той же формуле получаем : круг с центром радиуса . Оба круга вместе, включая окружности, и есть решение.

Круг	Центр	Крайние точки
Правый		, , ,
Левый		, , ,

ОДЗ дроби: . Приведём неравенство к общему знаменателю:

Числитель равен . Поэтому, поскольку положительно, имеем равносильное неравенство

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Круг радиуса с центром целиком лежит в круге радиуса с центром : расстояние между центрами , а . Поэтому случай «внутри малого круга, вне большого» невозможен. Остаётся быть вне малого круга и внутри большого. Обе окружности исключены: на малой дробь равна нулю, на большой она не определена.

Окружность	Центр	Радиус	Крайние точки по оси
Большая			,
Малая			,

Вывод: решение третьего пункта — часть большого открытого круга за пределами малого замкнутого круга.

Ответ

Стороны квадрата и область вне него.
Объединение двух замкнутых кругов радиуса с центрами и .
Точки и одновременно.

Помогло?

Номер Гл.8 §5 Задача 3