Гл. § Задача Система уравнений и свойства функции
Решить систему уравнений
{x+y4−2y2=lnx,2arctgx+arcsiny=0.
Решение
Из определения логарифма и арксинуса получаем ОДЗ: и . Первое уравнение перепишем, выделив полный квадрат:
Рассмотрим при . По правилу дифференцирования . Знаменатель положителен, поэтому производная отрицательна при , равна нулю при и положительна при . По признаку монотонности функция убывает до и возрастает после него. Следовательно, , причём равенство достигается только при .
В первом уравнении левая часть не меньше , а правая не больше . Равенство возможно лишь при и . Последнее равносильно , то есть или .
Проверим второе уравнение. При получаем . При получаем . Поэтому подходит только вторая пара.
