ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер Гл.2 §1 Задача 2

Гл. § Задача Предел корня из последовательности

Пусть $\alpha_n\ge-1$ при всех $n\in\mathbb N$ и $\lim_{n\to\infty}\alpha_n=0$ . Доказать, что $\lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{1+\alpha_n}=1$ , $k\in\mathbb N$ , $k\ge2$ .

Решение

Обозначим . По условию , поэтому арифметический корень существует и . По определению корня . Рассмотрим два возможных знака .

Если , то , следовательно, . Для числа и целого имеем . Подставляя , получаем . Так как , отсюда следует .

Если , то , а значит, . При возведении числа из в натуральную степень оно не увеличивается: . Поэтому . Кроме того, . Снова получаем .

Итак, это двойное неравенство верно при каждом . Из него вычитанием следует , то есть .

По условию . Согласно определению предела для любого найдётся , такое что при всех выполнено . Тогда для тех же номеров . По определению предела . Это и доказывает требуемое утверждение.

Ответ

при каждом , .

Помогло?

Номер Гл.2 §1 Задача 2