ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 135

№

Доказательство предела по определению

Исходя из определения предела последовательности, доказать, что $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ : 1) $x_n=\frac1{n+1}$ ; 2) $x_n=\frac1{\sqrt[3]{n}}$ ; 3) $x_n=\frac1{n^3}$ ; 4) $x_n=\frac1{2^n}$ ; 5) $x_n=\frac1{3n+2}$ ; 6) $x_n=\frac{n+1}{n^2}$ .

Решение

По определению предела последовательности требуется для каждого указать номер , после которого .

Во всех пунктах , поэтому знаменатели положительны.

Выберем натуральное .

При получим .

Значит, предел равен нулю.

Из неравенства следует , поскольку кубический корень сохраняет порядок.

Выберем .

Тогда при имеем , что доказывает предел .

Выберем .

Для выполняется , а значит, .

Следовательно, .

По формуле бинома или последовательным удвоениям при : при переходе от к имеем .

Поэтому .

Берём ; при получаем .

По определению предел равен .

Поскольку , то .

Возьмём .

При имеем .

Значит, предел равен нулю.

Разделим числитель на : .

Для верно , поэтому .

Выберем .

Тогда при получаем .

Это и есть определение предела .

Ответ

Во всех пунктах )–) .

Помогло?

Номер 135