На рисунке 45 (а—г) изображены графики функций. Для каждой из этих функций выяснить: 1) какие из функций являются непрерывными на своей области определения; 2) какие точки являются точками разрыва на отрезке ; 3) какие из функций являются непрерывными на интервале ?
По определению непрерывности график около каждой внутренней точки области определения должен подходить к значению функции с обеих сторон. Выколотая точка означает отсутствие значения, а несовпадение подходящих к одной абсциссе частей графика — разрыв.
-
На рисунке а) кривая и отрезок соединяются в
без скачка. На остальных участках график также не прерывается; на концах отрезка учитываем одностороннюю непрерывность. Поэтому а) непрерывна на всей своей области определения. На рисунке б) при нижняя ветвь подходит к , а значение функции равно по закрашенной точке, поэтому б) не непрерывна на всей области. На рисунке в) точка исключена из области определения. На каждом из двух промежутков области определения график плавный, поэтому в) непрерывна в каждой точке своей области определения по определению § . На рисунке г) при изображена закрашенная точка , а справа значения подходят к , поэтому г) имеет разрыв. -
На отрезке
у графиков а) и б) все изображённые точки соединяются без разрыва: разрыв б) расположен при и не входит в отрезок. На рисунке в) при обе ветви имеют выколотые концы, так что функция там не определена; это точка разрыва. На рисунке г) при левый предел равен , значение функции равно , правый предел равен . Они различны, следовательно, это точка разрыва. Иных точек разрыва на данном отрезке нет. -
Интервал
содержит , поэтому в) и г) на нём не непрерывны. На рисунке а) кривая непрерывна при всех . На рисунке б) рассматриваем только левую плавную ветвь параболы, а её разрыв при лежит вне интервала. Поэтому на данном интервале непрерывны а) и б).
- а) и в);
) у в) и г); ) а) и б).
