ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 259

№

Делимость степенных выражений

Доказать, что: 1) число $6^{12}-1$ делится на 37; 2) число $2^{48}-1$ делится на 65; 3) число $3^{17}-3$ делится на 240; 4) число $10^{12}+263$ делится на 11; 5) число $10^{24}-298$ делится на 99.

Решение

Вычислим . По формуле разности квадратов , но удобнее заметить . Тогда , и делится на . Следовательно, произведение делится на .
. Разложим . Число делится на при чётном показателе: . При один из множителей равен . Значит, исходное число делится на .
, а . Поэтому квадрат числа, имеющего при делении на остаток , снова даёт остаток : . Отсюда имеет остаток . Умножаем на : имеет остаток . Значит, разность делится на .
. При возведении в чётную степень отличается от на кратное . Кроме того, . Сумма остатков , поэтому делится на .
, поэтому при делении на даёт остаток . Число тоже даёт остаток . Разность двух чисел с одинаковыми остатками делится на : кратно .

Ответ

Делится на ; ) на ; ) на ; ) на ; ) на .

Помогло?

Номер 259