ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 257

№

Делимость многочленных выражений

Доказать, что число $n^3+3n^2+5n+3$ делится на 3 при любом $n\in\mathbb N$ . 2) Доказать, что число $2n^3-3n^2+n$ делится на 6 при любом $n\in\mathbb N$ ( $n>1$ ).

Решение

Перегруппируем выражение: . По формуле разности кубов . Среди трёх последовательных чисел одно делится на , поэтому первое слагаемое кратно . Остальные слагаемые явно имеют множитель : . Сумма кратна .
Вынесем и разложим квадратный трёхчлен группировкой: . Среди и одно чётно, значит, произведение делится на . При делении на возможны остатки , , . В первом случае множитель делится на ; во втором делится ; в третьем имеет остаток , то есть тоже делится на . Поскольку и взаимно просты, произведение делится на .

Ответ

Помогло?

Номер 257