№ Сумма квадратов, делящаяся на
Доказать, что натуральные числа m и n делятся на 3, если число m2+n2 делится на 3.
Решение
По правилу деления с остатком каждое натуральное число при делении на имеет остаток , или . Квадрат числа с остатком тоже имеет остаток . Если остаток числа равен , то остаток его квадрата равен ; если остаток равен , то , то есть остаток квадрата снова . Значит, остатки квадратов и могут быть только и . Их сумма делится на и имеет остаток ; из возможных сумм , , это возможно только при остатках и . Следовательно, оба квадрата, а потому и оба исходных числа , делятся на .
