ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 6

№ Рациональные и иррациональные числа

(Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:

$16{,}9$ ;
$7{,}25(4)$ ;
$1{,}21221222\ldots$ (после $n$ -й единицы стоит $n$ двоек);
$99{,}1357911\ldots$ (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?

Решение

Рациональные числа — это конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби. Иррациональные числа — бесконечные десятичные дроби, не являющиеся периодическими (§ ).

— конечная десятичная дробь, поэтому число рациональное ().
— бесконечная периодическая дробь с периодом , поэтому число рациональное.
: после первой единицы одна двойка, после второй — две, после третьей — три и т. д. Группы двоек становятся всё длиннее. Если бы дробь была периодической с периодом из цифр, то, поскольку единицы встречаются бесконечно часто, в периоде была бы единица, и двоек подряд было бы не больше . Но группы из более чем двоек подряд есть. Значит, дробь бесконечная и непериодическая, число иррациональное.
— запись всех нечётных чисел подряд. Среди нечётных чисел есть числа (например, , , ), в записи которых подряд идут нулей, причём может быть любым. Периодическая дробь с периодом из цифр не может содержать больше нулей подряд, если в периоде есть ненулевая цифра (а ненулевые цифры в записи встречаются бесконечно часто). Значит, дробь непериодическая, число иррациональное.

💡 Почему так

Критерий: число иррационально тогда и только тогда, когда оно записывается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Ответ

Иррациональные числа: ) и ).

Помогло?

Номер 6 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 10