Заполните пропуски в тексте древней летописи. Во… (математика)

№ Рыцари и лжецы по кругу

⚠️

В № на фото не видны варианты в выпадающем списке перед словами «один витязь». Решение дано для варианта «ровно» (самый естественный по смыслу), а сам вариант нужно выбрать в списке. В № перебор случаев сделан без полного доказательства: невозможность значения проверена не для всех способов проведения биссектрис.

Заполните пропуски в тексте древней летописи. Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 714, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [Выбрать] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде [ ].

Решение

Берём вариант «ровно». Обозначим витязя В, купца К.

Витязь говорит правду: среди его соседей ровно один витязь.
Купец лжёт: среди его соседей витязей не один, то есть или .

У каждого витязя ровно один сосед-витязь, поэтому витязи стоят парами ВВ. Тройка витязей подряд невозможна.
Между парами стоят купцы. Если подряд стоят два купца или больше, то крайний из них имеет ровно одного соседа-витязя. Это противоречит тому, что купец лжёт. Значит, между соседними парами стоит ровно один купец. Для него оба соседа — витязи, то есть , и он лжёт верно.
Витязи в городе есть, значит, по кругу повторяется группа ВВК из трёх человек.

Витязей в каждой группе по :

💡 Почему так

Ложь фразы «ровно один витязь» означает, что витязей среди соседей или . Из этого получается, что по кругу чередуются группы ВВК.

Ответ

✓ dzmen.ru

«ровно один витязь»; витязей во граде .

№ Биссектрисы и равные треугольники

Маша нарисовала треугольник $P QR$ и провела в нём биссектрису $P M$ . В каждом из треугольников $QP M$ и $R P M$ она провела ещё по одной биссектрисе, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Если равных треугольников штук, то пар получается . Для это , , , пар. Группы равных треугольников могут быть разными, поэтому разберём варианты.

пар. Для произвольного треугольника все четыре треугольника получаются различными.

пара. Пусть . Биссектриса угла в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой и делит его на два равных треугольника. Если , то треугольники справа не равны ни друг другу, ни левым. Получается ровно одна пара.

пары. Пусть . Тогда — ось симметрии, и . Биссектрисы проводим симметрично, и две пары равных треугольников получаются зеркальными. Если дополнительных равенств нет, получаем ровно пары.

пар. Пусть треугольник прямоугольный равнобедренный с прямым углом и — его высота. Тогда и — равные прямоугольные равнобедренные треугольники с прямым углом . Проведём в каждом биссектрису из , она же высота и медиана, и получим четыре равных треугольника, то есть пар.

пары (ровно три равных треугольника) не получаются: проверка показывает, что это равенство либо невозможно, либо влечёт равенство всех четырёх.

и пар невозможны: число пар равно для группы из равных треугольников, а при двух группах по два получается .

💡 Почему так

Число пар равных треугольников определяется размерами групп равных треугольников: группа из даёт пар.

Ответ

✓ dzmen.ru

, , ,

Помогло?

Заполните пропуски в тексте древней летописи. Во граде великом славный люд…