Вне плоскости α расположен треугольник ABC, у которого медианы AA_1 и BB_1 параллельны плоскости α. Через вершины B и C треугольника проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α соответственно в точках E и F. Докажите, что ECBF — параллелограмм.
В условии, по-видимому, опечатка: параллелограмм с вершинами E, F, C, B записывается как BCFE. Его стороны BE и CF, BC и EF.
- Медианы AA_
и BB_ лежат в плоскости ABC и пересекаются в точке пересечения медиан. Обе параллельны плоскости α. Две пересекающиеся прямые плоскости ABC параллельны α, значит, . - Прямые BE и CF параллельны, поэтому через них проходит плоскость BEFC.
- Эта плоскость пересекает параллельные плоскости ABC и α по прямым BC и EF. Значит,
. - Итак,
(по условию) и (п. ). В четырёхугольнике BCFE противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
Плоскость ABC параллельна α, поэтому
Плоскости α и β параллельны (рис. 76). Прямая a пересекает плоскости α и β соответственно в точках A и B, а прямая b — в точках C и D. Найдите взаимное расположение прямых a и b. Поясните.
Только по условию взаимное расположение прямых a и b однозначно не определить: они могли бы пересекаться или скрещиваться. На рисунке
- Если
, то через них проходит плоскость γ. - Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым AC и BD. Значит,
. - В четырёхугольнике ABDC имеем
(это части прямых a и b) и . Значит, ABDC — параллелограмм, и .
Параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.
По рисунку прямые a и b параллельны. Тогда ABDC — параллелограмм:
Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадраты со стороной a. Через середину ребра AD параллельно плоскости DA1B1 проведена плоскость. Найдите периметр сечения.
Все грани — квадраты со стороной a, значит, это куб. Пусть M — середина AD.
- Плоскость
содержит и точку C, так как . Сечение куба этой плоскостью — прямоугольник . - Проведём через M прямую
, где Q лежит на . Так как M — середина AD, то Q — середина . - Проведём через M прямую
, где N лежит на BC. Тогда N — середина BC. - Через Q проведём
, где P лежит на . Тогда P — середина . - Плоскость MNPQ содержит две пересекающиеся прямые, параллельные плоскости
, поэтому она ей параллельна. Сечение — прямоугольник MNPQ. . , так как .
Сечение, параллельное плоскости
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки C и K параллельно прямой a (рис. 77).
Точка K лежит на ребре MB, прямая a лежит в плоскости ABC (плоскость α).
- В плоскости ABC проведём через C прямую
. - Прямая c пересекает прямую AB в точке P (на продолжении ребра BA за точку A).
- Прямая c параллельна a, значит, секущая плоскость содержит прямую c, то есть точки C и P.
- Проведём прямую PK. Она лежит в плоскости MAB и пересекает ребро MA в точке L.
- Соединим L с C (грань MAC) и K с C (грань MBC).
- Треугольник CKL — искомое сечение. Его стороны: CK в грани MBC, KL в грани MAB, LC в грани MAC.
Плоскость, проходящая через точку и параллельная данной прямой, содержит прямую, параллельную данной. Поэтому через C проводим
Сечение — треугольник CKL: через C проведена
