В треугольной пирамиде DABC точки M и P лежат на… (геометрия)

№ Линия пересечения плоскостей в пирамиде

В треугольной пирамиде $D A B C$ точки $M$ и $P$ лежат на продолжении рёбер $C D$ и $A B$ соответственно так, что $D M > D C$ . Точка $A$ лежит между $B$ и $P$ , точка $C$ — между $D$ и $M$ , точка $N$ принадлежит ребру $B D$ . Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $M N P$ и $A B C$ .

Решение

Построение:

Точка лежит на прямой , а она лежит в плоскости . Значит, — общая точка плоскостей и .
Точки и лежат в плоскости : — на прямой , — на ребре . Проводим прямую в плоскости .
Прямые и лежат в одной плоскости и не параллельны, поэтому пересекаются. Обозначим .
Точка лежит на , а лежит в плоскости , значит . Точка лежит на , а лежит в плоскости , значит . Итак, — вторая общая точка плоскостей.
Две общие точки и определяют прямую . Это и есть линия пересечения плоскостей.

💡 Почему так

Если две различные плоскости имеют две общие точки, они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Вторую точку находим как пересечение прямых и , лежащих в одной плоскости .

Ответ

✓ dzmen.ru

Искомая прямая — , где .

№ Сечение правильной пирамиды

Плоскость $α$ пересекает ребро $B D$ и медиану $B F$ грани $A B C$ правильной пирамиды $D A B C$ в точках $D_{1}$ и $B_{1}$ и делит их в отношении $D D_{1} : D_{1} B = F F_{1} : F_{1} B = 1 : 4$ . Найдите длину отрезка $D_{1} F_{1}$ , если каждое ребро пирамиды равно 4 см.

Решение

Опечатка в условии: вместо в отношении написано . Считаем, что — точка на медиане с .

Все рёбра равны см, значит — правильный тетраэдр, и все его грани — равносторонние треугольники со стороной см.

Рассмотрим треугольник . Здесь см. Отрезок — медиана равностороннего треугольника :

Отрезок

— медиана равностороннего треугольника

Точка лежит на , точка лежит на , и

У треугольников

общий угол

и пропорциональные стороны, значит они подобны с коэффициентом

. Отсюда

💡 Почему так

Грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники, поэтому медианы и равны . Отрезок отсекает от треугольника подобный ему треугольник.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

Помогло?

В треугольной пирамиде DABC точки M и P лежат на продолжении рёбер…